ОТЧЁТ: Калибровка лазерного станка, анализ систематической погрешности

---

1. Исходные данные (два замера)

Заданный размер (X), мм	Реальный размер (Y), мм	Отклонение
100	102	+2.0
90.8	93	+2.2

Оба замера показывают, что реальный рез больше заданного макета.
Характер отклонения неочевиден: разница варьируется (2.0 мм и 2.2 мм), что указывает либо на комбинированную ошибку, либо на погрешность измерений/малую выборку.

---

2. Математические модели погрешностей

2.1. Чисто масштабная модель

$Y=k\cdot X$

• Причина: неверная калибровка осей (шагов/мм), люфт, геометрия направляющих.
• Ошибка: пропорциональна размеру.

По данным:

• $k_1=\frac{102}{100}=1.02$
• $k_2=\frac{93}{90.8}\approx 1.0242$
• Среднее $k_{\text{ср}}\approx 1.022$

---

2.2. Чисто аддитивная модель

$Y=X+b$

• Причина: несоосность луча и сопла, диаметр лазерного пятна.
• Ошибка: постоянна, не зависит от размера.

По данным:

• $b_1=2.0\text{ мм}$
• $b_2\approx 2.2\text{ мм}$
• Среднее $b_{\text{ср}}\approx 2.1\text{ мм}$

---

2.3. Комбинированная (линейная) модель

$Y=k\cdot X+b$

• Причина: сочетание масштабной и аддитивной ошибок.
• Наиболее универсальная аппроксимация.

По данным (решение системы):

$$\{\begin{array}{l}102=k\cdot 100+b\\ 93=k\cdot 90.8+b\end{array}$$ $$k=\frac{9}{9.2}\approx 0.97826$$ $$b=102-0.97826\cdot 100\approx 4.174$$

Обратная формула (коррекция макета):

$$X_{\text{макет}}=\frac{Y_{\text{цель}}-b}{k}$$

---

2.4. Термическая модель

$\Delta L_{\text{терм}}=\alpha \cdot L\cdot \Delta T$

$Y=X+\Delta L_{\text{терм}}-\Delta L_{\text{пропил}}$

• Причина: нагрев материала в процессе резки.
• Ошибка: зависит от размера, времени работы, теплофизических свойств материала.

---

3. Гипотезы о природе ошибки

Гипотеза	Формула	Диагностика
Масштабная	$Y=kX$	Три квадрата разного размера дают постоянное отношение Y/X
Аддитивная (несоосность луча)	$Y=X+b$	Тест на липкой ленте; внешний контур увеличивается, отверстие уменьшается
Комбинированная	$Y=kX+b$	Точки на графике ложатся на прямую с отсечкой
Термическая	$Y=X+\alpha X\Delta T$	Ошибка растёт со временем работы; зависит от материала и плотности раскроя

---

4. Проблема двух точек

Два замера математически недостаточны для выбора модели:

• Через две точки можно провести бесконечное множество кривых, но единственную прямую $Y=kX+b$.
• Однако эта прямая может быть артефактом:
  • Если истинная зависимость $Y=kX$, то модель $Y=kX+b$ даст ложное $b\ne 0$.
  • Если истинная зависимость $Y=X+b$, то модель даст ложный $k\ne 1$.

Вывод: необходимы три и более замеров в широком диапазоне размеров.

---

5. Рекомендуемый диагностический протокол

5.1. Тест на несоосность луча (tape shot test)

1. Наклеить скотч на сопло
2. Короткий импульс лазера (10–15% мощности)
3. Оценить положение ожога относительно центра сопла

Если ожог не по центру → аддитивная ошибка, знак зависит от направления.

5.2. Калибровочные замеры (минимум 3 точки)

Вырезать квадраты:

• $50\times 50$ мм
• $100\times 100$ мм
• $200\times 200$ мм

Измерить реальные размеры. Построить график $Y(X)$.

Интерпретация:

• Точки на прямой через 0 → $Y=kX$
• Точки на прямой с отсечкой → $Y=kX+b$
• Точки не на прямой → нелинейность, возможно термический эффект

5.3. Проверка термического дрейфа

Вырезать две одинаковые детали:

• сразу после включения
• через 1–2 часа непрерывной работы

Сравнить размеры. Разница > 0.2–0.3 мм → термический фактор.

5.4. Проверка внутренних контуров

Вырезать деталь с отверстием.

• Внешний контур увеличился, отверстие уменьшилось → несоосность луча (аддитивная)
• Оба изменились одинаково → масштабная ошибка или смещение нуля

---

6. Что говорят источники (Internet Summary)

Источник	Основной вывод
Руководства производителей (YiHai Laser)	Несоосность луча и сопла — главная причина аддитивной ошибки. Диагностика — тест на липкой ленте.
Журнал «Фотоника»	Ошибки позиционирования делятся на статические (калибровка) и динамические (настройки привода). Компенсация — калибровочная прямая или матрица.
Springer (IJAMT)	Термическое расширение материала при резке даёт ошибки до 1.2 мм на алюминии. Предложена модель предиктивной коррекции.
Академические исследования (福州大学)	Неперпендикулярность осей и смещение луча — ключевые факторы погрешности микрообработки.

---

7. Сравнение моделей на основе имеющихся данных

7.1. Модель 1: чистый масштаб ($k=1.022$)

• Прогноз для 90.8 мм: $90.8\times 1.022\approx 92.8$ мм (факт 93 мм)
• Прогноз для 100 мм: $100\times 1.022=102.2$ мм (факт 102 мм)
• Расхождения: ~0.2 мм — в пределах погрешности

7.2. Модель 2: чистая аддитивная ($b=2.1$)

• Прогноз для 90.8 мм: $90.8+2.1=92.9$ мм (факт 93 мм)
• Прогноз для 100 мм: $100+2.1=102.1$ мм (факт 102 мм)
• Расхождения: ~0.1 мм — также в пределах погрешности

7.3. Модель 3: комбинированная ($k=0.978,b=4.17$)

• Прогноз для 90.8 мм: $0.978 \cdot 90.8 + 4.17 \approx 92.9$$ мм (точно)
• Прогноз для 100 мм: $0.978\cdot 100+4.17=102.0$ мм (точно)
• Особенность: при $X<192$ мм макет меньше цели, при $X>192$ мм — больше

---

8. Ключевые неопределённости

1. Природа ошибки — масштаб, аддитив или комбинация — не установлена из-за недостатка данных.
2. Величина $b=4.17$ мм в комбинированной модели аномально велика для типичной несоосности луча (обычно 0.2–0.5 мм). Это может указывать на:
   • Погрешность измерения исходных данных
   • Влияние термического фактора
   • Артефакт из-за малой базы измерений
3. Поведение внутренних контуров не исследовано.

---

9. Рекомендации по коррекции макета

9.1. Если нужна немедленная работа (без дополнительных тестов)

• Использовать усреднённый масштабный коэффициент $k\approx 1.022$
• Увеличить весь макет на 2.2% по обеим осям
• Точность ~0.2–0.5 мм (достаточно для многих задач)

9.2. Если требуется высокая точность

• Провести полный диагностический протокол (п. 5)
• Определить истинную модель
• Применить соответствующую формулу коррекции:
  • Для масштабной: $X_{\text{макет}}=\frac{Y_{\text{цель}}}{k}$
  • Для аддитивной: $X_{\text{макет}}=Y_{\text{цель}}-b$
  • Для комбинированной: $X_{\text{макет}}=\frac{Y_{\text{цель}}-b}{k}$

9.3. Особый случай: карточки внутри большого макета

• При комбинированной модели координаты всех элементов корректируются по той же формуле: $X_{\text{нов}}=\frac{X_{\text{стар}}-b}{k}$
• Это сохраняет взаимное расположение

---

10. Выводы

1. Двух замеров недостаточно для однозначного определения природы погрешности.
2. Наиболее вероятные причины с точки зрения технической литературы:
   • Масштабная ошибка калибровки осей
   • Несоосность луча и сопла (аддитивная)
   • Термическое расширение материала (особенно для крупных деталей и плотного раскроя)
3. Рекомендуемая модель для аппроксимации — $Y=kX+b$, но численные значения требуют уточнения.
4. Следующий шаг — проведение калибровочных тестов с тремя и более размерами, включая внутренние контуры, для верификации модели.

---

11. Приложение: формулы для использования

Коррекция макета (общая форма)

$\boxed{X_{\text{макет}}=\frac{Y_{\text{цель}}-b}{k}}$

Для чистого масштаба

$X_{\text{макет}}=\frac{Y_{\text{цель}}}{k},k\approx 1.022$

Для чистой аддитивной

$X_{\text{макет}}=Y_{\text{цель}}-b,b\approx 2.1\text{ мм}$

Точка смены знака поправки (для комбинированной модели)

$X_{\text{пересеч}}=\frac{b}{1-k}\approx 192\text{ мм}$

• При $X<192$ мм: макет меньше цели
• При $X>192$ мм: макет больше цели